Sahabat Privat

A. Pengertian Suku Banyak

B.Teorema Sisa

C. Teorema Faktor

SUKU BANYAK

SUKU BANYAK
Kompetensi Dasar:
-Siswa dapat melakukan pembagian suku banyak serta dapat menggunakan teorema sisa dan teorema factor.
Indikator:
-Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.
-Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah dan mengunakan teorema sisa dan teorema faktor.
Pengertian Sukubanyak
Bentuk Umum : axn + bxn-1 + cxn-2 + ….+ qx + r
Variable x Derajat sukubanyak n Koefisien sukubanyak : a , b , c , … , q , r Banyaknya koefisien = n + 1 Pangkat bilangan cacah.
2. Nilai sukubanyak
F(x) = x 3 + 3x 2 – 4x – 3Cara subtitusi : Kita tinggal mengganti x dengan nilai yang diminta.
f( 2 ) = 2 3 + 3.2 2 – 4.2 – 3 = 9
Cara bagan : Tuliskan koefisien dari sukubanyak


Sehingga f( 2 ) = 9
3. Kesamaan sukubanyak
Dua sukubanyak dikatakan sama jika derajat dan tiap suku yang bersesuaian sama.
4. Pembagian sukubanyak
Pembagian terstruktur / porogapit ( semua bisa mengunakan ini ) Pembagian sintetik :
* Pembagi harus linear atau dapat dibuat menjadi faktor linear
* jika dibagi ax + b maka hasil bagi harus dibagi a.
Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk Linear
Pembagian suku banyak dengan (x-k)
Misalkan diketahui sukubanyak axn + bxn-1 + cxn-2 + ….+ qx + r dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pembagian S. Persamaan yang menghubungkan sukubanyak yang dibagi f(x) dengan sukubanyak pembagi (x-k), sukubanyak hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S adalah
Untuk mendapatkan hasil pembagian H(x) dan sisa pembagiannya S, kita dapat menggunakan Metode Horner sebagai berikut:
k
+ + + +
S
Keterangan gambar:
Tanda panah artinya kalikan dengan k
Nilai b adalah nilai-nilai yang mejadi hasil koefisisen H(x)
S adalah sisa dari pembagian suku banyak dan nilainya adalah
Pembagian suku banyak dengan ax+b
Misalkan k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh sehingga bentuk x-k menjadi . Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan membererikan hasilnya H(x) dan sisa pembagian S, maka diperoleh hubungan:
Persamaan ini menunjikkan bahwa sukubanyak f(x) dibagi dengan (ax+b) memberikan hasil bagi dan sisa pembagian S.
Pembagian suku banyak dengan pembagi berbentuk kuadrat
Metode pembagian sintetik atau metode horner ternyata hanya dapat dipergunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suatu sukubanyak yang berbentuk linear. Untuk pembagi yang berbentuk kuadrat metode itu tidak dapat digunakan.
Misalkan sukubanyak f(x) dibagi dengan (dengan dengan dapat difaktorkan atau yang tidak dapat difaktorkan), maka hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak itu dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek.
Contoh soal:
Tentuka hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan .
Jawab :
Pembagi berbentuk kuadrat yang tidak dapat difaktorkan, sehingga hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak dengan ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek seperti berikut:
Hasil Bagi
x+2
Yang dibagi
_
Pembagi _
Sisa Pembagian
Algoritma pembagian sukubanyak dengan diatas dapat dijelaskan sebagai berikut:
Langkah 1
Dimulai dari dibagi dengan
() : () = x, sisa . Tulislah x di tempat hasil.
Langkah 2
Sisa menurunkan 10 menjadi
() : () = 2, sisa x+4. tulislah 2 ditempat hasil disebelah kanan x.
Langkah 3
Sisa x+4 sudah tidak dapat dibagi . Pembagian berhenti sampai di sini, sebab sisanya (x+4) berderajat lebih rendah dari pembagi ().
Berdasarkan bagan diatas, sukubanyak dapat ditulis menjadi
= ()(x+2) + (x+4)
yang dibagi pembagi hasil bagi sisa pembagian
Jadi pembagian sukubanyak dengan memberikan hasil bagi (x+2) dan sisa (x+4).
Teorema Sisa
Menentukan Sisa Pembagian Dengan Teorema Sisa Dengan Pembagi Berbentuk Linear
Ada dua macam Pembagi berbentuk linear:
Pembagi Berbentuk (x-k)
Teorema 1:
Jika sukubanyak f(x) berdaerajat n dengan (x-k), maka sisanya ditentukan oleh S = f(k)
Bukti:
Perhatikan kembali rumus:
Maka dengan mensubstitusikan x=k kedalam persamaan tersebut maka diperoleh:
Jadi terbukti bahwa sisa pembagian
Pembagi Berbentuk (ax+b)
Teorema 2:
Jika sukubanyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax+b), maka sisanya ditentukan oleh: S = f()
Bukti:
Perhatikan kembali Rumus:
Persamaan ini berlaku u ntuk semua bilangan real x, maka dengan mensubstitusikan ke persamaan itu diperoleh:
Jadi terbukti bahwa sisa pembagian
Teorema Faktor
Pengertian Faktor
Untuk memahami pengertian faktor, simaklah sukubanyak berikut:
Sehingga kita dapat persamaan : f(x)=(x-k). H(x)
Teorema Faktor:
Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak,
(x-k) adalah factor dari f(x) jika dan hanya jika f(k)=0
Pernyataan dalam Teorema Faktor tersebut dapat dibaca sebagai berikut:
Jika (x-k) adalah factor dari f(x), maka f(k)=0
Bukti:
Misalkan (x-k) adalah factor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan sebagai:
f(x)=(x-k). H(x)
Substitusi nilai x = k kedalam persamaan f(x)=(x-k). H(x), sehingga diperoleh: f(k) = (k-k).H(k)
Jadi, jika (x-k) adalah factor dari f(x) maka f(k)=0
jika f(k)=0, maka (x-k) adalah faktor dari f(x).
Bukti:
Misalkan f(x) dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k). dengan menggunkan teorema 1, pernyataan ini dapat ditulis sebagai:
Untuk f(k)=0, persamaan ini berubah menjadi:
Hubungan ini mrnunjukkan bahwa (x-k) adalah factor dari f(x)
Berdasarkan uraian 1 dan 2 diatas terbukti bahwa:
(x-k) adalah factor dari f(x) jika dan hanya jika f(k)=0.